L'énigme de Picsou (2/2): solution et résolution

Pour accéder à l'énigme, c'est par ici : énoncé de l'énigme.

La solution : Balthazar Picsou possède au minimum 35 pierres précieuses rouges dans son coffre-fort.

Remarque: la résolution proposée ci-après introduit des lourdeurs conceptuelles avec des notions de probabilités superflues en comparaison de la relative simplicité du modèle. Ce choix délibéré a été réalisé afin de mettre à jour des abstractions souvent omises et de les utiliser dans un contexte assez simple pour quiconque souhaiterait se familiariser avec.

Probabilités

L'énigme décrit une expérience aléatoire sans remise. La probabilité d'un évènement influence donc les évènements suivants dans l'expérience.

Le coffre-fort contient $v$ pierres vertes et $r$ pierres rouges. On note $C$ le contenu du coffre-fort.

Modélisons notre expérience aléatoire en définissant d'abord l'espace $\Omega$ ou univers des possibles.

\Omega = \{ F \in \mathcal{P}(C) \mid \operatorname{card}(F) = 2 \}

Dit autrement, l'ensemble des éventualités sont toutes les combinaisons possibles de 2 pierres précieuses issues du coffre.

On choisit la tribu usuelle pour un univers fini, $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$ .

Pour le moment, nous avons un espace probabilisable avec le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ . Pour avoir un espace probabilisé, il nous manque une probabilité. $\Omega$ étant un ensemble fini, toute probabilité est entièrement définie par la donnée des probabilités des évènements élémentaires réduits à une seule éventualité.

\forall A \in \mathcal{A}, \mathbb{P}(A) = \sum_{\omega \in A} \mathbb{P}(\{\omega\})

De plus, chaque éventualité élémentaire est équiprobable (on a la même probabilité de retirer n'importe lequel des couples formés par 2 pierres précieuses du coffre). Il en vient que :

\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{\operatorname{card}(\Omega)}

On définit l'évènement $A$ : retirer deux pierres vertes du coffre-fort. Pour rappel, un évènement est un ensemble d'éventualités qui est réalisé si l'une de ces éventualités est réalisée.

\mathbb{P}(A) = \sum_{\omega \in A} \mathbb{P}(\{\omega\}) = \sum_{\omega \in A} \frac{1}{\operatorname{card}(\Omega)} = \frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}

Calculons d'abord $\operatorname{card}(A)$ :

\operatorname{card}(A) = \binom{v}{2} = \frac{v!}{2!(v-2)!} = \frac{v(v-1)}{2!}

Puis calculons $\operatorname{card}(\Omega)$ :

\operatorname{card}(\Omega) = \binom{v+r}{2} = \frac{(v+r)!}{2!(v+r-2)!} = \frac{(v+r)(v+r-1)}{2!}

On peut à présent calculer le quotient de ces deux cardinaux:

\mathbb{P}(A) = \frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)} = \frac{v(v-1)}{2!} \times \frac{2!}{(v + r)(v+r-1)} = \frac{v(v-1)}{(v+r)(v+r-1)}

Or $\mathbb{P}(A) = \frac{1}{2}$ d'après l'énoncé de l'énigme.

Équation à deux inconnues

On peut donc écrire:

\frac{v(v-1)}{(v+r)(v+r-1)} = \frac{1}{2}

Réécrivons cette équation et appliquons des opérations pour réduire sa forme:

\begin{align} 2v(v-1) &= (v+r)(v+r-1) \\ 2v^{2} - 2v &= v^{2} + vr - v + rv + r^{2} - r \\ v^{2} - v &= 2vr + r^{2} - r \\ v^{2} - 2vr - r^{2} &= v - r \\ (v - r)^{2} - 2r^{2} &= v - r \end{align}

Simplifions l'équation en réalisant le changement de variable suivant: $u = v - r$ .

\begin{align} u^{2} - 2r^{2} &= u \\ u^{2} - u - 2r^{2} &= 0 \\ (u - \frac{1}{2})^{2} - 2r^{2} &= \frac{1}{4} \end{align}

Simplifions un peu plus l'équation en réalisant le changement de variable $t = u - \frac{1}{2}$ .

\begin{align} t^{2} - 2r^{2} &= \frac{1}{4} \\ 4t^{2} - 8r^{2} &= 1 \end{align}

On obtient une équation qui s'apparente à une équation de Pell-Fermat.

Équation de Pell Fermat

Une équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne de la forme:

x^{2} - dy^{2} = m

avec $(x,y) \in \mathbb{Z}^{2}$ , $d$ un entier strictement positif sans facteur carré et $m$ un entier.

Pour exprimer notre équation $4t^{2} - 8r^{2} = 1$ sous la forme de Pell-Fermat, faisons les deux changements de variables suivants: $x = 2t$ et $y = 2r$ .

x^{2} - 2y^{2} = 1

On a bien une équation de Pell Fermat puisque $d = 2$ est un entier strictement positif sans facteur carré et $m = 1$ est un entier. Nous voilà satisfaits, car si l'on trouve la plus petite solution $(x_{1}, y_{1})$ non triviale de cette équation, alors on obtient l'ensemble des solutions de l'équation avec:

\forall n \in \mathbb{N}, x_{n} + y_{n}\sqrt{d} = \pm (x_{1} + y_{1}\sqrt{d})^{n}

La solution triviale de cette équation étant le couple $(x_{0}, y_{0}) = (1,0)$ .

Explorons les plus petits couples possibles solutions de l'équation. En fixant $y = 1$ , notre équation devient alors:

\begin{align} x^{2} - 2 &= 1 \\ x^{2} &= 3 \\ x &= \pm \sqrt{3} \end{align}

On trouve que $x$ n'est pas égal à un nombre entier. Notre exploration se poursuit en fixant cette fois-ci $y$ à 2, notre équation devient :

\begin{align} x^{2} - 8 &= 1 \\ x^{2} &= 9 \\ x &= \pm 3 \end{align}

On en déduit que la plus petite solution non triviale à notre équation est le couple $(3,2)$ .

Retour aux inconnues d'origine

Nous ne sommes plus très loin de connaître le nombre minimum de pierres précieuses rouges qui sont dans le coffre de Picsou. Pour le moment, nous savons qu'il a au moins une centaine de pierres dans le coffre.

v+r \geqslant 100

Mais voilà un petit moment que nous n'utilisons plus les notations $v$ et $r$ , nous allons devoir les exprimer en fonction de $x$ et $y$ en réalisant les changements de variables inverses que nous avons effectués. On obtient :

\begin{align} r &= \frac{y}{2} \\ v &= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{y}{2} = \frac{x+y+1}{2} \end{align}

L'inégalité peut se réécrire en fonction de $x$ et $y$ :

\frac{x+2y+1}{2} \geqslant 100

Cherchons le plus petit couple d'entiers positifs $(x,y)$ qui vérifie cette inégalité.

Pour $n = 2$ , on a:

x_{2} + y_{2}\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^{2} = 17 + 12\sqrt{2}

On en déduit $(x_{2}, y_{2}) = (17,12)$ . Or $\frac{17+24+1}{2} < 100$ , il nous faut trouver un couple de solutions plus grand.

Pour $n = 3$ , on a:

x_{3} + y_{3}\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^{3} = 99 + 70\sqrt{2}

On en déduit $(x_{3}, y_{3}) = (99,70)$ . Or $\frac{99+140+1}{2} \geqslant 100$ , on a donc trouvé le plus petit couple vérifiant l'inégalité de l'énigme. Au total, il y a au moins 120 pierres dans le coffre-fort. Calculons maintenant le nombre minimum de pierres rouges.

r_{min} = \frac{y_{3}}{2} = \frac{70}{2} = 35

Finalement, le nombre minimum de pierres précieuses rouges dans le coffre de Balthazar Picsou est de 35.